Фамилия Теровой — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ов-, который в русских фамилиях обычно указывает на принадлежность («чей?»). Однако основа «Тер-» ставит в тупик: она не похожа ни на распространённое крестильное имя (вроде Петр-ов), ни на очевидное прозвище от профессии.

Здесь возможны две основные версии, и обе имеют право на жизнь.

Первая и самая вероятная — фамилия образована от прозвища Тер или Теря. В русских говорах слово «тереть» могло означать «толочь, растирать», а «тертый» — «бывалый, опытный, видавший виды». Прозвище Тер могли дать либо человеку, который занимался какой-то работой, связанной с трением (например, мельнику или толчее), либо, в переносном смысле, — «тертому калачу», то есть хитрому и умудренному жизнью человеку. В этом случае фамилия Теровой буквально значит «сын Тера» или «человек из семьи Тера».

Вторая версия — топонимическая. Фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта, например, деревни Тер или Терово. Такие названия встречаются в центральной России, но не массово. Если предки переселились оттуда, их могли записать по месту прежнего жительства: «Теровой» — то есть «выходец из Терова». Эта версия слабее, потому что суффикс -ов- в таких фамилиях чаще даёт форму на -ский (Терский, Теровский), но полностью исключать её нельзя — в документах XVIII–XIX веков фиксация зависела от грамотности писаря.

Интересная деталь: фамилия Теровой встречается в основном у русских, но её носители могут быть сосредоточены в Поволжье и на юге России. Это косвенно подтверждает версию о прозвище — именно в этих регионах диалектные слова «терёный», «тертый» были особенно употребительны.

Словообразовательно фамилия проста: основа + суффикс принадлежности. Никаких сложных приставок или редких суффиксов вроде -их- или -ин-. Это типичная русская фамилия, которая могла принадлежать крестьянам или мещанам — дворянские роды с такой фамилией не известны.

Если ваши предки — Теровой, скорее всего, родоначальник был человеком с характером: либо мастеровым, которого уважали за умение «тереть» и ладить с людьми, либо просто крепким мужиком, которого в деревне прозвали Тер — за опыт и смекалку.