Фамилия Терягова — женская форма фамилии Терягов, и её происхождение уходит корнями в прозвище или нецерковное имя Теряй. В русской традиции такие имена давали не в обиду, а как оберег: считалось, что если назвать ребёнка «потерянным» или «пропащим», злые силы не позарятся на него и не навредят. Отсюда же и глагол «терять» — основа прямая и понятная.

Морфологически фамилия образована по продуктивной модели: основа Теряй + суффикс -ов (притяжательный, указывающий на принадлежность: «чей?» — Терягов). Суффикс -г- в данном случае не корневой, а, скорее всего, результат фонетического изменения или диалектного произношения: в некоторых говорах Теряй могло звучать как Теряг, а затем закрепилось в документах. Это нечастая, но встречающаяся черта, отличающая фамилию от более распространённой Теряев, которая образована от того же корня, но с другим суффиксальным оформлением.

В историческом контексте предки носителей фамилии Терягов могли быть крестьянами или посадскими людьми, поскольку прозвищные фамилии на -ов в XVI–XVII веках активно формировались именно в этих сословиях. Географически фамилия тяготеет к северным и центральным регионам России, особенно к Вологодской, Костромской и Архангельской губерниям — там бытовали диалектные формы с -г- на конце. Встречается она и в старых писцовых книгах, но массовой не стала, что делает её относительно редкой.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с тюркским словом «теряк» (опора, поддержка), но для русской фамилии это натяжка — основа Теряй прозрачна для славянского уха и не требует заимствований. Так что самое правдоподобное объяснение — прозвище-оберег, данное в надежде, что ребёнок вырастет здоровым и удачливым, вопреки имени.