Фамилия Тренкенш — случай, когда написание почти полностью сохраняет звучание исходного немецкого слова. В русском языке она выглядит как транслитерация, а не как адаптация с помощью типичных фамильных суффиксов (-ов, -ин, -ский). Это прямой перенос, что сразу указывает на немецкое или, шире, германское происхождение носителей. Скорее всего, предки были выходцами из немецкоязычных земель, и фамилия закрепилась в России без изменений, характерных для обрусевших фамилий.

Основа фамилии — немецкое «Trenkenschuh» или его вариант «Trenkenschuch». Это сложное слово, которое буквально значит «обувь для питья» (от глагола «trinken» — пить и «Schuh» — башмак). Звучит нелепо, но за ним стоит конкретная бытовая реалия. В немецких диалектах так называли деревянный башмак, который ставили на стол во время попойки: в него наливали пиво или вино и передавали по кругу. Прозвище «Тренкеншу» давали либо тому, кто такой башмак мастерил (сапожнику, работавшему с грубой обувью), либо, что вероятнее, завзятому любителю выпить — человеку, который «пьёт из башмака».

В России фамилия Тренкенш встречается крайне редко. Её география связана с местами традиционного расселения немецких колонистов: Поволжье, юг Украины, Закавказье, а также крупные города, куда немцы переезжали в XVIII–XIX веках. Из-за редкости фамилия почти не дала ответвлений с русскими суффиксами — в отличие, скажем, от фамилии Тренкеншу, которая могла превратиться в Тренкеншов. Написание «Тренкенш» — это усечённый вариант, где конечный слог «-шу» отпал при записи в российских документах, либо его просто не расслышали при переписи.

С точки зрения словообразования, это не фамилия в привычном русском понимании (с патронимическим суффиксом), а застывшее прозвище. Оно не указывает на отца или род занятий в общем смысле, а описывает конкретную черту или историю человека, получившего такое прозвище. Если ваш предок носил фамилию Тренкенш, то, скорее всего, он был потомком немецкого колониста, а сама фамилия — живое напоминание о грубоватом, но точном народном юморе.