Фамилия Треногая звучит как застывшее прозвище — и это действительно так. Её основа — слово «тренога», то есть подставка или приспособление на трёх ножках. В крестьянском быту треногой называли и простой таган для котла над очагом, и станок для ковки лошадей, и даже особую виселицу. Но фамилия, скорее всего, пошла не от мрачных значений, а от ремесла или внешности.

Разберём модель. Фамилия оканчивается на -ая, что типично для полных прилагательных в женском роде. В русской традиции такие фамилии часто закреплялись за женщинами: если мужчина был Треногий, его жена или вдова получала прозвище Треногая. При этом в некоторых регионах, особенно на юге России и Украине, фамилии в форме прилагательного могли передаваться детям без изменения рода. То есть Треногая — это не обязательно женщина, мог быть и мужчина, просто фамилия застыла в одной форме.

Кем был предок? Самая прямая версия — мастер, делавший треноги. Кузнец, литейщик или плотник, который специализировался на таких изделиях. Вторая версия — человек, который хромал или ходил с костылём, то есть «на трёх ногах». Прозвища по физическим недостаткам давали часто, но здесь важно, что «тренога» — не про хромоту в бытовом смысле, а про устойчивую опору на три точки. Третья, более редкая версия — прозвище охотника или пастуха, который пользовался треногой для подвешивания добычи или котла.

Фамилия встречается нечасто. По данным переписей, Треногие и Треногая рассеяны по центральной России и южным областям — там, где было развито кузнечное ремесло и скотоводство. В словаре Б. Унбегауна фамилия не упомянута, но однокоренные Треногин и Треножников фиксируются в XIX веке. Это говорит о том, что модель на -ая могла быть региональной или более поздней по времени закрепления.

В итоге: фамилия Треногая — прозвищная, ремесленная или описательная. Предок мог быть кузнецом, делающим треноги, или человеком, получившим меткое уличное прозвище за походку. Другие версии (от названия растения или географического объекта) выглядят натянутыми — в говорах «тренога» не зафиксирована как топоним.