Фамилия Цаххаев — одна из тех, где не сразу угадаешь ни корень, ни язык-источник. В ней слышен отчётливый кавказский отзвук, и это не случайно: фамилия распространена среди осетин, особенно в Дигорском ущелье, а также встречается у ингушей. Написание с двойным «х» — не опечатка, а указание на гортанный, напряжённый звук, который в русской графике передают удвоением.

Разбираем словообразовательную модель. Основа «Цахха» — это, скорее всего, усечённая форма личного имени или прозвища. В осетинском языке суффикс «-ев» (как и «-ов») указывает на принадлежность: «чей?» — «Цаххаев», то есть потомок Цахха. Само имя Цахха могло возникнуть от осетинского «цах» — «козёл» или «козлёнок». В традиционных обществах Кавказа прозвища по животным были обычны: они давались либо за внешнее сходство (борода, резвость, упрямство), либо за род занятий, связанный с козоводством. Вряд ли это было оскорбительно — скорее, метко.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с арабским или тюркским корнем, означающим «чистый», «ясный». Но для неё нет надёжных подтверждений в ономастических справочниках, а фамильная география прочно привязана к осетино-ингушскому пограничью. Поэтому версия с «козлом» — основная, и она не уникальна: в тех же краях бытуют фамилии Цахилов, Цахоев, образованные от того же корня, но с разными суффиксами.

С социальной точки зрения, предки носителей фамилии Цаххаев были, по всей видимости, свободными горцами-скотоводами. Среди осетинских фамилий редко встречаются явные указания на княжеское или дворянское происхождение — Цаххаевы не исключение. Фамилия не попала в списки привилегированных сословий, но это не говорит о её малочисленности: в Дигорском районе Северной Осетии она до сих пор не редкость.

Интересная деталь: в дореволюционных метрических книгах фамилию могли записывать и как Цахаев, с одним «х». Удвоение закрепилось, вероятно, уже в советское время, когда паспортная система требовала единообразия, и носители сами настаивали на точной передаче произношения. Так что двойное «х» — не орфографическая случайность, а сознательное сохранение живой речи.