Фамилия Цилинских — редкий для русского слуха пример фамилии на -ских, которая, скорее всего, имеет не польское или украинское, а русское северное или сибирское происхождение. В отличие от дворянских фамилий на -ский/-цкий (вроде Трубецкого), фамилии на -ских (с ударением на предпоследний слог) в крестьянской среде Архангельской, Вологодской, Вятской губерний и в Сибири образовывались от названий деревень: человека, переехавшего из Цилина, Цилинки или Цилинского починка, записывали как «Цилинских» — то есть «из тех Цилинских мест». Такая форма застывала в родительном падеже множественного числа и передавалась по наследству.

Основа фамилии — топоним «Цилин» или «Цилинка». Где искать эту деревню? Скорее всего, в бассейне Северной Двины или Вятки: там встречаются гидронимы с корнем «цил-» (ср. река Цильма), а также названия, связанные с диалектным словом «циля» — так в некоторых говорах называли телёнка или, реже, неповоротливого человека. Не исключено и происхождение от личного имени Циля (уменьшительное от Цезарь или от крестильного Сильвестр в народной форме), но для фамилий на -ских такая основа менее типична: обычно они привязаны к месту, а не к имени.

В написании «Цилинских» обращает на себя внимание буква «и» в корне: если бы фамилия была от польского слова «cylin» (цилиндр) или от немецкого Zylinder, мы бы ждали «Цылинских», но здесь явно исконное русское чередование. Встречается также вариант «Цылинских» — он возможен, если предки жили на юге России, где «и» и «ы» в безударной позиции смешивались, но основной, документально закреплённый вариант — через «и».

Таким образом, фамилия Цилинских — географический маркер: ваш предок был выходцем из небольшого поселения с названием Цилин (или Цилинки), вероятно, в северных или северо-восточных губерниях России. В XIX веке такие фамилии часто оставались у государственных крестьян, реже — у однодворцев; дворянского герба за ними не числится. Чтобы сузить поиск до конкретного уезда, стоит посмотреть в переписных книгах XVIII века названия деревень с корнем «цил-» в Вологодской, Архангельской или Вятской губерниях — скорее всего, именно там и жили первые Цилинских.