Фамилия Цирюкин — один из тех случаев, когда профессиональное прозвище предка намертво закрепилось в родовом имени. Ее основа — слово «цирюльник» (в старом произношении и написании — «цирюльник»), то есть парикмахер и брадобрей, который не только стриг и брил, но и мог выполнять несложные медицинские процедуры: пускать кровь, ставить пиявки, рвать зубы. В русских говорах слово бытовало в формах «цирюльник», «цырюльник» и «цирюк» — именно последний, сокращенный вариант и лег в основу фамилии. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Цирюкин буквально означает «сын Цирюка» или «человек из семьи Цирюка», где Цирюк — прозвище отца-брадобрея.

Модель образования здесь классическая для русских фамилий XVI–XVII веков. От прозвища на -а/-я (Цирюка, Цирюк) с помощью притяжательного суффикса -ин получали фамилию дети и потомки. Это отличает Цирюкина от, скажем, Цирюльникова (с суффиксом -ов от полной формы «цирюльник») — Цирюкин короче, разговорнее и, вероятно, возник в среде, где прозвище было обиходным, без официального отчества.

В словарях фамилия не частотна. Встречается в центральных и южнорусских областях, но не образует плотных гнезд. Редкость объяснима: профессия цирюльника была распространена, но прозвище Цирюк — не единственное, что от нее образовывали. Конкурировали варианты Цирюльников, Цирюльник, Цирульников (через «и»), а также Брадобреев. Цирюкин — более локальный, возможно, украинский или белорусский след, где усеченные формы прозвищ типичнее: ср. Коваль (от коваль — кузнец) и Ковалёв.

Никакого отношения к слову «цирк» фамилия не имеет. Правописание с буквой «и» в первом слоге (Цирюкин) исторически отражает произношение через «и» или «ы» — в старой орфографии писали «цырюльникъ». В XIX веке, после реформы, написание закрепилось через «и», но в некоторых ветвях рода могло сохраниться и «Цырюкин» — такие варианты можно встретить в метрических книгах XIX века. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из среды городских ремесленников или мещан, где ремесло парикмахера передавалось по наследству, а не из крестьян, где брили друг друга сами.