Фамилия Турундаев, скорее всего, — фонетический вариант более известной фамилии Турунтаев. Звук «д» на месте «т» возник, вероятно, из-за особенностей произношения в некоторых говорах или при записи фамилии писцами: глухой «т» между гласными озвончался. Впрочем, возможен и обратный путь — от Турундаев к Турунтаев, но первый вариант встречается чаще.

Основа фамилии — прозвище Турунтай. Так в старину называли выходцев из Орды, перешедших на службу к русскому государю. Само слово, возможно, восходит к тюркским основам «турун» — «князь» и «тай» — «камень». Это не единственная трактовка, но она объясняет социальный статус первых носителей: прозвище звучало уважительно и указывало на знатное или служилое происхождение.

Именование Турунтай (а также родственные Торунтай и Тарунтай) встречается в исторических документах с XVI века. Самое известное упоминание — боярин Иван Иванович Турунтай (? — 1570), убитый по приказу Ивана Грозного. В труде историка С. Б. Веселовского упомянуты Турунтай Дмитриев из Арзамаса, 1580 год, и таможенный голова Афанасий Турунтаев из Свияжска, 1615 год.

Документы XVII века показывают, что носители прозвища встречались среди разных служилых сословий. Пушкарь Григорей Торунтаев указан в крестоприводной книге — так назывались акты, фиксировавшие граждан, принявших присягу на верность царям: в 1676 году — Федору Алексеевичу, в 1682 году — Ивану Алексеевичу. Одоевский казак Парфен Ермолов сын Торунтаев записан в документе 1674 года.

Любопытная деталь: в одном документе встречается отметка о беглых пронских стрельцах и казаках, которые жили в вотчине Никиты Ивановича Романова Скопине и уезде. Среди них названы Демешка Кириллов Турунтаев, Кузьмка и Микитка Турунтаевы. Это показывает, что уже в XVII веке фамилия бытовала среди тяглого населения, а не только среди знати.

Суффикс -ев в фамилии указывает на притяжательное значение: Турундаев — сын или потомок Турунтая. Так что человек с этой фамилией — прямой наследник человека, носившего прозвище Турунтай, которое, в свою очередь, связывало его с ордынскими корнями и службой русскому государю.