Фамилия Угрина — редкий случай, когда суффикс -ин указывает не на принадлежность отцу (как в Иванов — сын Ивана), а на прозвище матери или жены. В русской традиции так образовывали фамилии от женских прозвищ или имён, если мужчина был известен по матери или по супруге. Основа «Угр» — краткая форма от имени Угра, Угриня или прозвища Угрюмый, но здесь, скорее, корень связан с этнонимом «угры» — древним названием венгров и родственных им народов (манси, ханты). В древнерусских летописях «угры» — это и венгры, и обские угры. Прозвище Угрин могли дать человеку, который имел отношение к этим народам: торговал с ними, жил среди них или сам происходил от угорского предка.

География фамилии подтверждает эту версию. Угрина встречается в северных и сибирских регионах: Архангельская область, Пермский край, Зауралье. Это как раз зона контакта славянских переселенцев с угорскими племенами. В XVI–XVII веках, когда осваивали Север и Урал, прозвища по этнической принадлежности давали часто: «зырянин», «пермяк», «угрин». Фамилия могла закрепиться за потомками человека, которого в документах записали как «Угрин» — то есть выходец из угорских земель или человек, знающий угорский язык.

Интересно, что форма Угрина — женского рода, но фамилия мужская. В русской ономастике это признак, что прозвище или имя матери было Угрина. Если у женщины было редкое имя Угрина (от «угрюмый» или от этнонима), то её сына могли называть «Угрин сын», а потом фамилия застыла в родительном падеже. Второй вариант — фамилия образована от прозвища Угря, Угрыч, которое тоже могло звучать как Угрина в диалектном произношении. Но этническая версия выглядит убедительнее, потому что у фамилии есть чёткая географическая привязка к местам расселения угров.

Сравните с однокоренными фамилиями: Угров, Угрюмов, Угринский. Угрина стоит особняком — она не от «угрюмый» (там суффикс -ов или -ев), а от конкретного прозвища Угрин. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» такие образования от этнонимов описаны как типичные для севернорусских говоров. Так что если вы носите фамилию Угрина, ваши предки, скорее всего, жили на границе русского и угорского миров — в Поморье или на Урале, и их прозвище напоминало о соседях или родственниках с другой стороны.