Фамилия Варнаватый — редкий случай, когда на одну основу накладывается сразу несколько возможных объяснений, и ни одно из них нельзя отбросить с ходу. Главная интрига здесь — не корень, а суффикс. Окончание -атый типично для восточнославянских фамилий, но чаще встречается у украинских и белорусских прозвищ: оно образует прилагательное со значением «обладающий признаком» (как Горбатый, Носатый). Значит, Варнаватый — это изначально прозвище, которое закрепилось за человеком по какой-то яркой черте.

Самая прямая версия ведет к украинскому глаголу «варнякати» — болтать, говорить невнятно или попусту. Варнаватым могли прозвать говорливого человека, пустомелю или того, у кого была неразборчивая речь. Версия логичная: глагол живой, суффикс -атый точно ложится на эту основу, образуя прозвище по речевому поведению.

Вторая гипотеза отсылает к слову «варнак» — так в Сибири и на Урале называли каторжника или бродягу. Если предок носил прозвище Варнак, то форма Варнаватый могла означать «из рода Варнака» или «похожий на варнака». Соблазн велик, но есть лингвистическая тонкость: переход «к» в «в» (варнак → варнаватый) нестандартен. В диалектах встречается чередование, но уверенно настаивать на этой версии нельзя — она возможна, но неочевидна.

Третья версия — от имени Варнава (арамейское «сын пророка»). В этом случае фамилия строится по модели «имя + -атый», что встречается реже, чем патронимы на -ов/-ин, но не исключено. Варнаватый могло значить «относящийся к Варнаве» или «слуга Варнавы». Однако фамилии от полных форм канонических имен обычно оформляются иначе (Варнавин, Варнавский), так что эта гипотеза уступает первым двум по вероятности.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и украинским землям — именно там активны суффиксы -атый и глагол «варнякати». Встречаемость низкая, фамилия редкая и локальная, что говорит о позднем закреплении в крестьянской среде, скорее всего, не раньше XVIII века.

Итог: скорее всего, Варнаватый — прозвище по речи (от «варнякати»). Версия с «варнаком» возможна, но спорна. Имя Варнава — наименее вероятный вариант, хотя полностью исключать его нельзя.