Фамилия Вереемчук — редкая и по звучанию неочевидная. Её разбор сразу упирается в вопрос: что за основа «Вереем»? Первое, что приходит на ум — глагол «вереть» или «вереять» (в разных говорах — тереть, перетирать, а также двигать, шевелить, веять). Но в фамилиях такая глагольная основа почти не встречается напрямую. Вероятнее, что в основе лежит прозвище Верей или Вереем, образованное от существительного «верея» — так в русских говорах называли столб, на который навешивают ворота, а также межевой знак, верстовой столб. Человек мог получить прозвище Верея за высокий рост, прямую осанку или за то, что жил у такого столба, либо занимался их установкой. Форма Вереем — это, скорее всего, местный диалектный вариант или результат искажения при записи.

Суффикс -чук однозначно указывает на западный регион: украинское, белорусское или южнорусское происхождение. Этот суффикс означает «сын» или «потомок»: Вереемчук — буквально «сын Вереема». Фамилия характерна для Волыни, Полесья, западной части Беларуси. Если бы фамилия была русской, она звучала бы как Вереемов или Вереин.

Есть и более спорная версия — связь с личным именем Веремий, народной формой канонического имени Иеремия. В украинской традиции Иеремия нередко превращался в Ярему, но в некоторых говорах мог дать и форму Веремий. Тогда Вереемчук — это «сын Веремия», то есть потомок Иеремии. Однако эта гипотеза слабее, потому что переход «Иеремия → Веремий → Вереем» не подтверждается массовыми записями, а прозвище от «верея» встречается в документах чаще. К тому же суффикс -чук крепче сцепляется с прозвищами, чем с каноническими именами, которые обычно давали формы на -енко или -ук.

Коротко: Вереемчук — западнорусская фамилия, указывающая на предка по прозвищу Вереем (вероятно, «столб», «верея»). Носители фамилии жили на территории современной Украины или Беларуси, а сама фамилия сформировалась в XVI–XVII веках, когда суффикс -чук активно вытеснял старые патронимы.