Фамилия Веремеенков — редкий случай, когда за основу взято не имя, а отчество от имени, которое само по себе уже было редким. Если разобрать её по частям, становится ясно: перед нами «внук Веремея», то есть человека по имени Веремей.

Веремей — это народная, разговорная форма церковного имени Иеремия (др.-евр. «Яхве возвысит»). В русском языке имя Иеремия упрощалось по-разному: в южных и западных говорах чаще звучало Ерёма, а в северных и центральных — Веремей. Переход начального «И» в «В» не редкость для древнерусской речи: вспомните, как имя Иван превращалось в Ваня, а Илья — в Виля. Так и Иеремия стал Веремеем.

Суффикс -енков указывает на происхождение с юга России — из областей, где фамилии строили по модели «чей?» с окончанием -енко, -енков. Веремеенков буквально значит «сын Веремеенка», то есть внук Веремея. Такая трёхступенчатая цепочка (Веремей → Веремеенко → Веремеенков) говорит о том, что фамилия закрепилась в крестьянской или казачьей среде, где прозвище по отцу передавалось дальше, обрастая новыми суффиксами.

Интересно, что фамилия почти не встречается за пределами бывшей Курской, Воронежской и Харьковской губерний. Это узколокальный вариант: в других регионах того же Веремея назвали бы Веремеевым или Ерёминым. А вот форма с -енков выдаёт именно южнорусский говор и обычай образовывать фамилии от отчества деда.

Никакого иного значения — ни ремесла, ни прозвища по внешности — в этой фамилии нет. Всё сводится к имени Иеремия, которое в народе перекроили до Веремея, а потом закрепили в цепочке родства. Если вы Веремеенков, ваши предки с большой вероятностью жили в чернозёмной полосе России и были либо крестьянами, либо однодворцами, а фамилия досталась вам от деда по имени Веремей.