Фамилия Веремеенкова — женская форма от Веремеенков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Веремей. Это просторечная, народная форма крестильного имени Иеремия (в переводе с древнееврейского — «возвышенный Богом»). В русской традиции имя Иеремия часто превращалось в Еремей, а в южнорусских и украинских говорах — в Веремей, с начальным «в» протетическим (приставным). Такое чередование — обычное дело в живой речи: ср. «Владимир» и «Ладимир», хотя здесь механизм другой.

Словообразовательная модель типична для южнорусских и украинских фамилий. Суффикс -енк(ов) — это сложный патронимический формант. Проще говоря: сначала от имени Веремей образовали отчество Веремеенко («чей сын?» — «Веремеенко», то есть сын Веремея), а затем, при русификации фамилии (попадании в великорусскую среду), к ней добавили типичный русский суффикс -ов. Получилась фамилия Веремеенков — типичный пример «гибридной» фамилии, где украинская основа получила русское окончание. Женская форма, соответственно, Веремеенкова.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где исторически смешивались украинские и русские говоры: Белгородская, Курская, Воронежская области, а также юг России и восток Украины. Встречается она и у потомков переселенцев из этих мест в Сибирь и на Дальний Восток.

Редкость фамилии в том, что она сохранила не просто имя Иеремия, а его живую, диалектную форму с приставным «в». В официальных документах (церковных метриках, ревизских сказках) чаще писали Еремей, поэтому Веремей — маркер устной, бытовой традиции именования. Предки носителей фамилии были, скорее всего, крестьянами или казаками, и фамилия закрепилась за ними в XVIII–XIX веках, когда патронимы становились наследственными. Никакой знатной родословной за ней не числится, но это как раз и делает её ценной для семейной истории: она прямо указывает на имя основателя рода, которое в официальных бумагах могло выглядеть иначе.