Фамилия Веременчке — редкий случай, когда написание сразу подсказывает, где её искать. Суффикс -к- и особенно окончание -е выдают западнославянское, скорее всего польское, происхождение. В русском языке подобная форма нетипична: фамилии на -ке, -ко обычно закрепляются как неизменяемые или получают другое окончание. Поэтому первое, что приходит в голову: перед нами полонизированный вариант, возможно, от белорусской или украинской основы, записанный по польским правилам.

Основа фамилии — Веремен- — восходит к личному имени Веремей. Это народная, разговорная форма канонического имени Иеремия (др.-евр. «возвышенный Богом»). В белорусском и украинском языках имя Иеремия превратилось в Ярэма, Ерема, а в польском — в Jeremiasz, но в просторечии могло звучать как Weremij или Weremiej. Отсюда и прозвище Веременя, Веремей — человек, которого так звали в быту. Фамилия Веременчке, таким образом, означает «потомок Веремея» или «маленький Веремей» (уменьшительно-ласкательная форма).

Модель образования проста: к основе Веремен- добавили суффикс -к- (в польской традиции он часто передаёт уменьшительность или принадлежность), а затем окончание -е, типичное для польских фамилий в именительном падеже множественного числа (ср. Ковальске, Новаке). В русском языке такую фамилию могли бы записать как Веременко или Веременков, но конкретно вариант Веременчке закрепился именно в западнославянском ареале. Географически носители такой фамилии встречаются в Польше, а также среди потомков переселенцев из бывших польских земель (Западная Украина, Беларусь, Литва).

Интересная деталь: двойное написание с «чк» в конце — Веременчке, а не Веременке — указывает на мягкое произношение, характерное для польского языка (rz читается как «ж», а сочетание cz — как твёрдое «ч»). В русской транскрипции это могло бы выглядеть как Веременчкэ или Веременчко, но исторически закрепилось именно такое написание. Таким образом, предки носителя этой фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами из западнорусских земель, чьё имя в документах записали на польский манер.