Фамилия Веремко звучит как что-то родное для западных областей — и это верное чутьё. Её ареал: Беларусь, особенно Минская и Гродненская области, а также западные регионы Украины и юго-запад России, куда фамилия попала с переселенцами. Модель образования здесь — классическая для белорусской и украинской ономастики: суффикс -к-о, который превращает личное имя или прозвище в фамилию. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Вере́мко.

Основа — имя Веремей. Это народная форма крестильного имени Иеремия (от древнееврейского «Яхве возвысит»). В белорусских говорах Иеремия превратился в Еремея, а затем в Веремея — с характерной заменой начального «Е» на «Ве» под влиянием местного произношения. Таким образом, Веремко — это «сын Веремея» или «маленький Веремей». Фамилия вписана в ряд однокоренных: Веремей, Веремеев, Веремеенко, Веремейчик.

Интересная деталь: в некоторых говорах слово «веремей» могло означать не только имя, но и прозвище — так называли человека суетливого, вечно куда-то спешащего («веремей» от «веремить» — суетиться, торопиться). Вряд ли эта версия основная, но она добавляет фамилии живого бытового оттенка: предок мог быть не просто «сыном Еремея», а человеком с характером.

Социальный состав фамилии типичен для белорусского крестьянства и мещанства. Веремко не встречается среди древних дворянских родов — это фамилия людей, чьи предки пахали землю или ремесленничали в местечках. В метрических книгах XIX века её носители фигурируют как православные или униаты, что тоже указывает на западнорусское происхождение.

Если коротко: корни — в имени Иеремия, география — белорусско-украинское пограничье, а суффикс -ко выдаёт народную, а не книжную традицию образования фамилий.