Фамилия Веремский в своей основе восходит к мужскому крестильному имени Иеремия. С древнееврейского оно переводится как «возвышенный Богом» — это библейское имя носил один из великих пророков Ветхого Завета. Однако на русской почве полная форма Иеремия приживалась тяжело: в народном обиходе имя быстро сократили и переделали в более удобное Веремей. От этой разговорной формы и пошла фамилия.

Модель образования здесь типичная для восточнославянских фамилий: суффикс -ский добавляли к основе, чтобы указать на принадлежность к роду или местности. В случае Веремского суффикс скорее указывает на родовую принадлежность («из рода Веремея»), а не на географическое название. Такие фамилии на -ский часто встречались среди польской шляхты и украинской старшины, но в XIX веке их активно носили и крестьяне западных губерний Российской империи.

Встречается фамилия в основном на территории Беларуси и Украины, реже — в центральных областях России. Это косвенно подтверждает, что предки Веремских могли быть выходцами из западнорусских земель, где имя Веремей было особенно распространено. В польском языке аналогом выступает фамилия Wereski, а в украинском — Веремчук или Веремко.

Процесс закрепления фамилий в этих регионах шёл неравномерно: у крестьян они появились позже, чем у дворян, часто лишь в XVIII–XIX веках. Поэтому точно сказать, когда именно возник род Веремских и к какому сословию принадлежали первые носители, можно только после глубоких генеалогических изысканий — в метрических книгах, ревизских сказках или исповедных ведомостях.