Фамилия Весте — это относительно редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не русское, а западноевропейское. В русской традиции фамилий, оканчивающихся на -е, практически нет: они либо оканчиваются на согласный, либо на -ов/-ев, -ин, -ский. Поэтому первое, что бросается в глаза, — это финаль «-е», типичная для немецких, голландских, а также прибалтийских фамилий (ср. Кюхельбекер, Гёте, Вебер). Скорее всего, перед нами фамилия, принесённая в Россию немцами, шведами или выходцами из Прибалтики.

Самая вероятная версия связывает фамилию Весте с немецким словом Westen (запад) или прилагательным west (западный). В таком случае Весте — это указание на географическое происхождение предка: «человек с запада» или «тот, кто живёт к западу от поселения». В немецкой ономастике такие фамилии-ориентиры встречаются, хотя и реже, чем фамилии по профессии. Возможен и вариант, что Весте — это сокращённая или изменённая форма от сложной фамилии, начинающейся на West-, например, Вестфаль (Westphal) — «вестфалец», житель Вестфалии.

Менее распространённая, но допустимая гипотеза — эстонское или финское происхождение. В эстонском языке слово veste означает «жилет», и фамилия могла возникнуть как прозвище портного или человека, носившего яркий жилет. Однако для русского контекста такая версия менее вероятна: фамилии на -е в эстонском обычно оформляются иначе.

В России фамилия Весте встречается крайне редко, в основном в крупных городах (Москва, Санкт-Петербург) и в регионах, где исторически жили немецкие колонисты — Поволжье, юг Украины. Носители могли быть потомками ремесленников, аптекарей или офицеров, приехавших по приглашению российского правительства в XVIII–XIX веках. Сословная принадлежность в данном случае не определяется: среди немецких колонистов были и крестьяне, и горожане.

Если же рассматривать фамилию в рамках искусственной или псевдонимной традиции, то Весте может быть и литературным псевдонимом, образованным от латинского vestis (одежда) или от западноевропейских корней, но это уже область догадок без документальных подтверждений. В любом случае, для русского уха эта фамилия звучит как иноязычное заимствование, и её носитель почти наверняка имеет предков из немецкоязычных или прибалтийских земель.