Фамилия Возжаев — из числа тех, что образованы от прозвища, а не от крестильного имени. Исходным словом здесь стало «возжа» — фонетический вариант более привычной «вожжи», то есть части конской упряжи, с помощью которой правят лошадьми. Значит, первым, кого назвали Возжаем, мог быть извозчик или мастер, делавший вожжи. Но это лишь одно из возможных объяснений.

Прозвища, связанные с упряжью, часто давали не только по ремеслу, но и по характеру. Человек, который «держит всех в руках» или стремится управлять другими, тоже мог получить прозвище Возжай — по аналогии с тем, как вожжами направляют лошадь. Такая метафора встречается в русской ономастике нередко.

Есть и третий, менее очевидный вариант. В орловских и тамбовских говорах глагол «возжиться» означал «дружить, водиться с кем-то», а также «мешаться, ввязываться не в своё дело». Соответственно, Возжаем могли прозвать или очень дружелюбного человека, или, напротив, назойливого и любопытного, который всюду суёт нос.

Какую из этих версий считать основной — вопрос открытый. Суффикс -ев указывает на принадлежность: Возжаев — это сын или потомок Возжая. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -ай, -яй (сравните: Гуляй — Гуляев, Лентяй — Лентяев). Само прозвище Возжай — редкое, в письменных источниках встречается нечасто, но в XIX веке фиксируется в южнорусских и центральных губерниях, особенно там, где было развито извозное дело.

Таким образом, фамилия Возжаев может указывать и на занятие предка, и на его властный нрав, и на общительность. Скорее всего, в каждой конкретной ветви рода значение было своё — то, которое вкладывали в прозвище при его возникновении.