Фамилия Забавская — это типичная «географическая» фамилия, образованная по модели притяжательных прилагательных с суффиксом -ск-. В её основе лежит прозвище или мирское имя Забава. Нарицательное слово «забава» в древнерусском языке означало «потеха, развлечение, игра». Чаще всего так называли человека весёлого нрава, балагура и затейника, который любил шутки и развлечения. Впрочем, в народе слово «забава» иногда употреблялось и в ироничном смысле — так могли прозвать человека медлительного, «забавного» в значении «неповоротливый, потешный».

Фамилия Забавская, скорее всего, возникла не напрямую от прозвища, а от названия населённого пункта вроде Забава, Забавка или Забавы. Такие топонимы встречаются в Беларуси, на западе России и в Польше. В этом случае основатель рода был либо помещиком из этих мест, либо крестьянином, которого записали по месту жительства: «из Забавы» — Забавский. Женская форма Забавская закрепилась за дочерью или женой носителя исходной мужской фамилии.

Суффикс -ск- указывает на более позднее, шляхетское или дворянское происхождение фамилии. В Речи Посполитой такие фамилии на -ский/-цкий были распространены среди знати, но позже их переняли и крестьяне, особенно при переписях. Поэтому Забавские могли быть как мелкими дворянами, владевшими деревней Забава, так и крестьянами, переселившимися в другие места.

Таким образом, потомок человека по прозвищу Забава или выходец из села Забава со временем получил фамилию Забавская. В любом случае, корень «забав-» несёт оттенок чего-то лёгкого, весёлого или несерьёзного — либо как черта характера предка, либо как название родной земли.