Фамилия Забарская — женская форма фамилии Забарский, а та, скорее всего, образована от географического названия. Самый прямой путь — отыскать на карте топоним Забары, Заборье или подобный. В славянской традиции фамилии на -ский/-цкий давали либо дворянам по названию родового поместья, либо людям, переселившимся из села с таким именем. Если предок был крестьянином или мещанином, фамилия указывала на место выхода: «пришёл из Забар» или «владел землёй в Забарах».

Корень «забар-» может быть вариантом от «забор» (огороженное место, укрепление) или от диалектного «забара» — так в некоторых говорах называли болотистую, заросшую травой низину. Вторая версия правдоподобнее для фамилий, не связанных с дворянскими усадьбами: люди часто получали прозвище по характерному ландшафту родной деревни. Суффикс -ск- в данном случае работает как указатель на принадлежность к местности, а не как уменьшительный или патронимический (как в фамилиях на -ов, -ин).

В польской и белорусской ономастике фамилии с основой «Zabar-» встречаются чаще, чем в великорусских землях. Это наводит на мысль, что Забарские могли происходить с территории современной Западной Беларуси или восточных воеводств Речи Посполитой. Там же есть населённые пункты Забары (например, в Брестской области), что делает версию с топонимом почти бесспорной.

Редкий случай: фамилия Забарский не имеет очевидной связи с профессиональным прозвищем или именем. Это почти чистая «географическая» фамилия, что сужает круг поиска для владельца. Если ваши предки носили её до революции, стоит искать метрические записи в западных губерниях Российской империи — Гродненской, Минской, Волынской. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Заба́рская.