Фамилия Задай — редкий случай, когда прозвище перешло в наследственное имя почти без изменений, сохранив глагольную форму повелительного наклонения. В русской антропонимии такие фамилии встречаются, но нечасто, и почти всегда они указывают на конкретную бытовую ситуацию или характер человека, который получил это прозвище первым.

Основа фамилии — глагол «задать» в значении «дать задание, поручить работу, назначить». Скорее всего, прозвище Задай получил человек, который постоянно что-то поручал другим, был распорядителем или старшим в какой-то работе. Возможен и другой оттенок: в диалектах «задай» могло означать «задира», «забияка» — того, кто «задаёт» трепку или ссору. Обе версии логичны, но первая (связанная с распорядительством) выглядит более естественной для фамилии, так как прозвища по роли в коллективе часто становились наследственными.

По типу образования фамилия Задай относится к небольшой группе так называемых «застывших» глагольных форм. В отличие от большинства русских фамилий на -ов, -ин или -ский, она не имеет суффикса принадлежности. Это указывает на то, что прозвище закрепилось за родом в том виде, в котором его дали, без дополнительного оформления. Такие фамилии характерны для украинской и южнорусской традиции, где фамилии на -ай, -ей (Нехай, Спасиба, Покушай) встречаются чаще. Поэтому географически фамилию Задай стоит искать в южных областях России или на востоке Украины.

С точки зрения социального контекста, носитель фамилии Задай в прошлом — скорее всего, незнатный человек, крестьянин или ремесленник. Дворянские фамилии редко образовывались от глагольных прозвищ в повелительном наклонении; это бытовая, «народная» модель. В документах XVII–XVIII веков такие фамилии почти не фиксировались, так как не вписывались в официальную формулу «сын такого-то», но в устном обиходе и в списках однодворцев или казаков они вполне могли существовать.

Сегодня фамилия Задай остаётся малораспространённой. Её носители могут встретиться в Ростовской, Волгоградской областях, а также в Краснодарском крае. Встречаются и варианты написания с ударением на последний слог — Зада́й, что подтверждает глагольное происхождение: ударение падает так же, как в форме повелительного наклонения.