Фамилия Заговский — одна из тех, что не лежат на поверхности. Её не объяснишь простым «сын Захара» или «житель Загорья». Чтобы понять, откуда она взялась, нужно присмотреться к суффиксу и к тому, как в русском языке работали модели образования прозвищ.

Модель «За-…-ск(ий)» — это не про место, а про свойство. Обычно суффикс -ский указывает на принадлежность к географическому объекту (например, Загорский — из-за горы). Но в фамилии Заговский основа явно не топоним, а глагол или существительное с приставкой за-. Здесь работает другая, более редкая модель: приставка за- + корень + суффикс -ск(ий). Такие фамилии часто давали людям по их привычке, поведению или ремеслу. Например, Заиграев, Запоев, Заболотский (в значении «тот, кто за болотом» — но это уже топоним). Заговский, скорее всего, восходит к слову «заговаривать».

Самая вероятная версия — прозвище Заговка или Заговой. В русских говорах «заговка» — это не просто болтун, а человек, который умел заговаривать, то есть лечить заговорами, ворожить, шептать. В крестьянской среде знахарь, «заговорщик» (в старом, не политическом смысле) был фигурой заметной. Он лечил скотину, снимал сглаз, заговаривал кровь. Прозвище легко перешло в фамилию: Заговский — «сын Заговки» или «из рода Заговых». Вариант с суффиксом -ский вместо привычного -ов может говорить о том, что фамилия оформилась в среде, где преобладала польская или западнорусская традиция (шляхетская модель), или просто о более позднем, книжном происхождении.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с глаголом «заговеться» (начать поститься) или «заговенье» (канун поста). В этом случае Заговский — потомок человека, родившегося или крещённого в заговенье, либо получившего прозвище по церковному календарю. Но эта версия слабее: слово «заговенье» в основе обычно давало фамилию Заговеньев, а не Заговский.

Найти фамилию Заговский в дореволюционных списках сложно: она редкая. Встречается в основном на западе России, в Беларуси и в украинском Полесье — как раз в тех краях, где суффикс -ский был особенно активен и где знахарская традиция была сильна. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, в их роду был человек, к которому ходили «за словом» — лечиться или советоваться.