Фамилия Закина — это женская форма, образованная по типичной для русского языка модели: к основе мужской фамилии Закин добавляется суффикс -а, указывающий на принадлежность к роду. Поэтому искать происхождение нужно в мужском варианте.

Мужская фамилия Закин, в свою очередь, происходит от нецерковного имени или прозвища Зака. В старину так могли называть человека по нескольким причинам. Самая прямая версия — от глагола «закать» (церковнославянское «закалати» — закалывать, приносить в жертву). В этом случае прозвище Зака мог получить мясник, живодёр или человек, занимавшийся забоем скота. Однако в русских говорах у слова «закать» было и другое, бытовое значение — «запирать, замыкать». Тогда Зака — это прозвище сторожа, привратника или замкнутого, нелюдимого человека.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность к конкретному лицу: «чей?» — Закин, то есть сын или потомок Заки. Такая модель образования (основа на -а/-я + суффикс -ин) характерна для исконно русских фамилий северных и центральных губерний, где она вытеснила более южную модель с суффиксом -ов.

Стоит отметить, что фамилия Закин встречается редко, а Закина — ещё реже. В дореволюционных метрических книгах её можно найти в основном среди крестьян и мещан Вологодской, Костромской и Вятской губерний — регионов, где хорошо сохранились древние прозвищные формы. Интересная деталь: иногда фамилию путают с татарской или башкирской фамилией Закиев (от арабского имени Заки — «чистый, умный»), но русская Закина к ней отношения не имеет — это омофоны, возникшие независимо в разных языковых средах.

Таким образом, предки человека с фамилией Закина — это, скорее всего, крестьяне Русского Севера, получившие прозвище по роду занятий (сторож, мясник) или по черте характера.