Фамилия Закурская — женская форма фамилии Закурский, и её происхождение стоит искать не в одном корне, а в географии. В основе почти наверняка лежит название населённого пункта. На карте Беларуси и Украины есть несколько мест с корнем «Закур-»: например, деревня Закуры или урочище с похожим названием. Суффикс -ск- в таких фамилиях — типичный признак «географического» происхождения: он указывает, что предок носителя был откуда-то родом или владел землёй в том месте. По этой же модели образованы десятки дворянских и крестьянских фамилий (Вяземский, Трубецкой, Можайский).

Если отбросить топонимическую версию, остаётся прозвищная. Вторая часть фамилии может восходить к глаголу «курить» в старом значении — «дымить, жечь, гнать смолу или дёготь». Тогда «закурник» — это человек, который занимался смолокурением или жил за дымным местом. Но эта версия слабее: фамилии на -ский, образованные от ремёсел, встречаются реже, чем от названий деревень.

Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог: Закурская. В польском языке, откуда пришла часть таких фамилий, акцент фиксированный — на предпоследний слог, что тоже подтверждает версию о происхождении от географического названия (польские Закуры или Закуже).

Социальный состав носителей фамилии был смешанным. В XIX веке Закурские встречаются и среди мелкопоместной шляхты на территории современных Беларуси и Литвы, и среди крестьян. Однородного дворянского происхождения у фамилии нет — она бытовала в разных сословиях, что типично для «топонимических» фамилий на -ский, которые со временем перестали быть привилегией знати.

Итог прост: если вы Закурская, ваши предки, скорее всего, жили в деревне с названием вроде Закуры или Закурье. Точное место можно попробовать найти по старым картам — это даст конкретную привязку к истории семьи.