Фамилия Закутня — прозрачная по происхождению, но редкая по модели образования. Её основа — слово «закут» или «закута», то есть угол, закуток, отгороженное место в хлеву или в доме. В южных и западных русских говорах, а также в украинском и белорусском языках «закутою» называли либо отдельную клеть для овец и телят, либо вообще закоулок, закуток. Человек мог получить такое прозвище, если жил в отдалённой части села, в «закутке», либо держал скот в отдельном закуте — или же просто имел нелюдимый, «закутный» характер.

Необычность фамилии — в суффиксе. Большинство русских фамилий образовано с помощью -ов, -ин или -ский. Здесь же — окончание -я, типичное для украинских и белорусских прозвищных фамилий (сравните: Несправа, Нехода, Заброда). Закутня — это застывшая форма прозвища в именительном падеже, без добавления патронимического суффикса. Такие фамилии чаще встречаются на территории исторической Слобожанщины, Черниговщины и Полтавщины, откуда могли мигрировать в центральные губернии России.

Есть и другая версия, менее вероятная: от глагола «закутать» — укутать, завернуть. Но в этом случае логичнее было бы прозвище Закута или Закутов, а не Закутня. Связь с «закутом» (хлевом или углом) поддерживается целым кустом однокоренных фамилий: Закутин, Закутов, Закутный, Закутский. Закутня стоит в этом ряду особняком именно из-за своего окончания, указывающего на украинское или белорусское происхождение предка.

Социальный статус первых носителей, скорее всего, был крестьянским или казачьим. В ревизских сказках и метрических книгах XIX века фамилия Закутня встречается эпизодически, преимущественно в южных уездах Курской и Воронежской губерний, а также в области Войска Донского. Знатных родов с такой фамилией не зафиксировано — это фамилия земледельца или мелкого ремесленника, прозванного по месту жительства или хозяйственной постройке.