Фамилия Занская звучит по-женски, и это подсказка: в исходной форме она, скорее всего, мужская — Занский. Такие фамилии на -ский/-ской типичны для польской, украинской, белорусской и русской дворянской или духовной среды, но встречаются и у крестьян, получивших фамилию по названию места жительства.

Корень «Зан-» неочевиден. Самое прямое объяснение — географическое. Фамилию могли дать человеку, который родом из населённого пункта с названием Занское, Заньки, Заны или Заня. Такие топонимы есть в разных регионах бывшей Речи Посполитой и центральной России. Например, деревня Заньки существует в Смоленской области, а Занское упоминается в старых польских записях. В этом случае суффикс -ский работает как указатель на местность: «тот, кто из Занского».

Есть и другая версия, менее вероятная, но лингвистически возможная. В древнерусском языке и диалектах слово «зан» или «зана» могло быть вариантом слова «зной» или обозначать что-то жаркое, сухое (сравните с украинским «зана» — жара). Тогда прозвище Зан дали бы человеку с горячим нравом или, наоборот, работающему в жарком месте — например, кузнецу. Однако эта гипотеза слабая: следов такого прозвища в письменных источниках почти нет, и она уступает топонимической по правдоподобию.

Обратите внимание на суффикс -ск-. В русской традиции фамилии на -ский долго оставались маркером социального статуса: их чаще носили шляхта, духовенство и служилые люди. Если ваши предки Занские жили в западных губерниях Российской империи, есть шанс, что они происходили из мелкой шляхты или однодворцев, получивших фамилию по хутору или усадьбе. В центральной России такие фамилии могли давать в семинариях — по названию села, откуда пришёл ученик.

Встречаемость фамилии невысокая, и это нормально для топонимической фамилии, привязанной к конкретной точке на карте. Если у вас есть данные о точном месте рождения предков, попробуйте найти на старых картах деревню Занское или Заньки — скорее всего, именно оттуда и пошёл род.