Фамилия Засима — редкий случай, когда в основе лежит не полное, а разговорное, «акающее» произношение имени Зосима. Само имя Зосима пришло из греческого языка и означает «живой», «жизнеспособный». Акающий вариант — Засима — был распространён в народной речи, где безударное «о» произносили как «а», и эта форма закрепилась в фамилии без изменений, без добавления суффиксов -ов или -ин.

Имя Зосима часто встречалось в православных святцах: известно 15 святых покровителей с этим именем, среди которых особенно почитаем Зосима Соловецкий, основатель знаменитого монастыря. Славяне верили, что имя святого или мученика создаёт незримую связь с небесным покровителем, поэтому Зосимой и Засимой называли детей в надежде на благую и светлую жизнь.

Фамилия Засима — это, по сути, застывшая форма личного имени. Такие фамилии без суффикса (так называемые «усечённые») встречаются реже, чем, например, Засимов или Засимин. Они характерны для украинской и белорусской традиции, а также для южнорусских говоров. Именно там имя Засима могло бытовать как самостоятельное, а затем перейти в фамилию без изменений.

Если ваш предок носил фамилию Засима, он, скорее всего, происходил из регионов, где аканье было нормой, а имя Зосима произносили на местный лад. Это мог быть крестьянин, ремесленник или священнослужитель — имя было распространено в разных сословиях, но именно в простонародной среде акающая форма закрепилась прочнее всего.