Фамилия Застрогина — не самая распространённая, но у неё есть как минимум два объяснения, и оба заслуживают внимания. Первое и самое прямое: в основе лежит прозвище Застрога, которое, скорее всего, связано со словом «застрог» или «заструг». Так в старину называли столярный инструмент, разновидность рубанка или струга. В этом случае фамилия — типичное «профессиональное» именование: предок был столяром или плотником, работал с деревом, строгал доски. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Застрогин, то есть сын или потомок Застроги.

Вторая версия менее очевидная, но не менее интересная. Прозвище Застрога могли дать человеку, который жил «за острогом». Острог — это укреплённый населённый пункт, обнесённый заострённой деревянной стеной. Такие поселения были распространены на Руси с XII века, особенно активно строились в XIV–XVII веках на южных и восточных окраинах, а позже — в Сибири. Если предок жил за пределами такой крепости, его могли прозвать Застрогой — «тот, кто за острогом». В этой версии фамилия указывает не на ремесло, а на место жительства.

Есть и географическая привязка: в Ровенской области Украины стоит город Острог, известный с 1100 года (упоминание в Ипатьевской летописи). Вполне возможно, что основатель рода Застрогиных жил неподалёку от этого города, и прозвище закрепилось по названию местности. В любом случае, фамилия образована по классической модели: прозвище на -а плюс притяжательный суффикс -ин. Такой способ словообразования типичен для русских фамилий, особенно в северных и центральных регионах.