Фамилия Заватская — это женская форма фамилии Заватский, а та, в свою очередь, образована по географическому принципу. Перед нами типичный случай, когда предок носителя получил прозвище или фамилию по названию места, откуда был родом. Суффикс -ский/-цкий в русских фамилиях чаще всего указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но к XIX веку его активно перенимали и крестьяне, и духовенство, так что сословная принадлежность предков Заватских могла быть любой.

В основе фамилии лежит топоним Заваты или Завада. Наиболее вероятная версия — происхождение от названия поселения Заваты. Такое название встречается в Беларуси (в Витебской области) и в Польше (Zawaty). Корень «ват» может быть связан с диалектным словом «ватага» (толпа, артель, отряд) или иметь финно-угорское происхождение, что характерно для северо-западных земель. Вторая версия — от слова «завада» (помеха, препятствие), но в фамилии Заватская гласная «а» во втором слоге устойчива, что делает связь с «завадой» менее убедительной.

Словообразовательная модель проста: к названию места Заваты добавили типичный польско-белорусский суффикс -ск- и окончание -ий/-ая. Фактически, первый носитель фамилии Заватский — это «тот, кто из Зават». Фамилия закрепилась в западных губерниях Российской империи, особенно на территории современной Беларуси и Смоленщины. Встречается она и в украинском Полесье.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые образуются от имени отца, Заватская — это «географическая» фамилия, сразу указывающая на локальные корни рода. Если ваши предки носили эту фамилию, значит, они были выходцами из конкретного села или хутора с похожим названием, и фамилия просто «приклеилась» к ним при переезде или при административном учете в XIX веке.