Фамилия Заветаева — женская форма, а мужской вариант — Заветаев. В основе почти наверняка лежит нецерковное имя или прозвище Заветай. Суффикс -аев указывает на старую модель: так образовывали фамилии от имен, оканчивающихся на -ай (ср. Заветай → Заветаев, как Молчай → Молчаев, Нечай → Нечаев). Ударение в фамилии, скорее всего, на второй слог: Заве́таев.

Что могло значить имя Заветай? Самое прямое объяснение — от слова «завет» (наказ, обещание, союз). В дохристианской Руси заветом называли и договор, и зарок. Человек мог получить прозвище Заветай, если он, например, дал обет, заключил важную сделку или славился верностью данному слову. В некоторых говорах «заветать» означало «обещать», «завещать», так что прозвище могло закрепиться за тем, кто постоянно что-то обещал или брал на себя обязательства.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с гидронимом или топонимом. В русском ономастиконе есть реки с названием Завета, например, в бассейне Оки. В таком случае фамилия могла указывать на выходца с берегов этой реки, и исходная форма была бы не от имени, а от географического названия: «живущий у Заветы» → Заветаев. Однако эта версия слабее, потому что фамилии от рек чаще образуются через -ский (Заветский), а суффикс -аев характерен именно для отчеств.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По данным современных телефонных справочников и баз переписи, Заветаевы единично фиксируются в центральных областях России (Московская, Владимирская, Нижегородская) и единично — на Урале. Это говорит о том, что фамилия не разошлась широко и сохранилась, скорее всего, в одном-двух локальных гнёздах.

Таким образом, Заветаев — это отчество от личного прозвища Заветай, которое дали человеку за его набожность, верность слову или, наоборот, за привычку давать обещания. Фамилия редкая, и её носители с большой вероятностью имеют общего предка, жившего не позднее XVI–XVII веков в одном из центральных уездов России.