Прозвище Заводий, вероятно, образовано от нарицательного «заводь». Таким образом, оно указывает на место жительства человека — близ некой заводи, речного залива. Суффикс прилагательных -ий характерен для украинских фамилий, а потому можно предположить, что фамилия Заводий имеет украинское происхождение.