Фамилия Заянчковская — женская форма от Заянчковский, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ский (в женском роде -ская) указывает на польское или западнорусское происхождение: в Речи Посполитой и на землях, отошедших к Российской империи, такие фамилии давали по названию имения или местечка. Носитель фамилии — скорее всего, потомок шляхтича или человека, владевшего землёй, либо выходец из села с похожим названием.

Основа «Заянчк-» неочевидна, но её можно связать с двумя корнями. Первый — «заяц»: в польском и украинском «заєць» (заяц) дало прозвище Заяц, а уменьшительная форма «заянчко» или «заянчик» могла означать «маленького зайца» или прозвище быстрого, пугливого человека. Второй вариант — тюркский корень: в татарском и башкирском есть имя Заян (от «заян» — заяц, но как личное имя), а суффикс -чк- мог указывать на принадлежность к роду или поселению Заянчиково. В таком случае фамилия означает «выходец из Заянчково» — гипотетического селения, названного по имени основателя.

Географически фамилия тяготеет к западным и юго-западным губерниям Российской империи — Волынской, Подольской, Киевской, а также к современной Беларуси. В этих краях фамилии на -ский носили в основном мелкопоместные дворяне и шляхта, но к XIX веку такую форму могли принять и крестьяне, получившие прозвище по месту жительства. Встречаются также однокоренные варианты Заянчковский, Заянчков, Заянчук — последний характерен для украинского Полесья.

Сословной принадлежности предков точно не установить без генеалогического поиска, но суффикс -ский в сочетании с редкой основой делает фамилию маркером шляхетского или однодворческого происхождения. Если ваши предки были из Волынской губернии, есть шанс, что они числились в ревизских сказках как «шляхта застенковая» — без крестьян, но с гербом. Если из Черниговской или Могилёвской — скорее, казацкая старшина или мещане.

В современной России фамилия редкая, её концентрация заметна в Москве, Санкт-Петербурге и на юге Урала — туда в XIX веке переселяли малороссийских крестьян. Спор о корне («заяц» против «Заян») остаётся открытым, но лингвистически версия с тюркским именем проигрывает: в польско-украинском ареале «заяц» встречается в фамилиях в десятки раз чаще.