Фамилия Зажигина — женская форма от Зажигин, а та, в свою очередь, произошла от прозвища Зажига. Тут всё просто: основа — глагол «зажигать». Но за этим глаголом стоят разные человеческие типажи, и предок-носитель прозвища мог быть кем угодно из двух крайностей. Первый вариант — человек дела: истопник, мастер по разведению огня, тот, кто «зажигает» печи или, скажем, факелы. Второй — человек характера: задира, зачинщик ссор и драк, «зажигатель» конфликтов. В народе такое прозвище цеплялось к буйным и вспыльчивым, от которых, как от искры, разгоралась ссора.

Фамилия старая, и это подтверждает «Ономастикон» С. Б. Веселовского. В нём зафиксированы однокоренные фамилии с той же основой: Андрей Михайлович Зажога Меликов (начало XVI века) и Васюк Зажогин, крестьянин из Олонца (1564 год). Обратите внимание на чередование в корне: у Веселовского встречается форма «Зажога» — с тем же смыслом, но другим произношением. Это говорит о том, что прозвище бытовало в разных говорах, и фамилия Зажигина закрепилась в одном из вариантов произношения.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: сын Зажиги. Модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я. Так что фамилия Зажигина донесла до нас не просто имя предка, а его характеристику — либо по занятию, либо по нраву. И если ваш предок был Зажига, он мог быть как мирным истопником, так и тем, от кого родня прятала утварь во время ссоры.