Фамилия Желаевская — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищную версию. Это типичная «выезжая» фамилия дворянского или шляхетского образца, образованная по модели «название местности + суффикс -ск-». В основе лежит топоним Желаево или Желаева. Такие названия встречаются в западнорусских и польских землях: например, деревня Желаево (вариант: Желяево) есть в бывшей Витебской губернии, а также в Смоленской области. В польской ономастике фамилия Żelazowska (от Żelazowo) могла при адаптации в русскую речь дать форму Желаевская через замену корня, но это менее вероятно.

Суффикс -ск- в русских фамилиях указывает на принадлежность к месту или роду. В сочетании с окончанием -ая (женский род) и -ий (мужской род: Желаевский) это типично для фамилий, которые первоначально носили помещики, владевшие деревней Желаево, или выходцы из этого села. Мужской вариант Желаевский, скорее всего, первичен: так называли сына владельца усадьбы или переселенца из Желаева. Женская форма закрепилась за потомками по женской линии или как фамилия незамужней дочери.

По корню возможна неочевидная связь с глаголом «желать». В древнерусском языке «желати» означало не только «хотеть», но и «жаждать, стремиться». Однако прозвище Желай или Желайка, от которого могли бы образовать Желаев, встречается в источниках крайне редко. В словаре Веселовского упоминается Желай — крестьянин XV века, но это единичный случай, и от него логичнее шла бы фамилия Желаев или Желайкин, а не Желаевский. Поэтому версия с топонимом выглядит убедительнее.

Сословно фамилия чаще всего принадлежала мелкопоместному дворянству или шляхте Речи Посполитой, которая после разделов перешла в российское подданство. В метрических книгах XIX века Желаевские встречаются в западных губерниях — Могилёвской, Витебской, а также в Петербурге, куда дворяне переезжали на службу. В советское время фамилия утратила сословную окраску, но сохранила географический отпечаток.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в небольшой деревне с названием Желаево или похожим. В архивах обратите внимание на исповедные ведомости и ревизские сказки по западным губерниям — там фамилия может быть записана как Желаевский, а в быту сокращена до Желаев.