Фамилия Желай — редкий случай, когда прозвище или имя закрепилось без типичного русского суффикса (-ов, -ин, -ский). Это так называемая «неоформленная» фамилия, которая выглядит как чистая основа. В русской традиции такие фамилии чаще встречаются на западе и юге, в украинском и белорусском ареалах, хотя и в России они не исключение.

Корень здесь — глагол «желать». Прозвище Желай могли дать человеку, который часто желал добра, приветствовал или напутствовал, либо, напротив, тому, кто был известен своими настойчивыми просьбами и пожеланиями. В старину нецерковные имена-пожелания вроде Ждан, Неждан, Любим были распространены, и Желай стоит в том же ряду. Возможно, это сокращение от славянского двусоставного имени типа Желавлад или Желанмир, но документальных подтверждений этому нет — скорее всего, перед нами прямое прозвище.

Интересная деталь: в некоторых говорах «желать» могло означать не только «хотеть», но и «жалеть», «сожалеть». Если так, то прозвище могло закрепиться за сострадательным или, наоборот, постоянно сетующим человеком. В любом случае, фамилия образована от личного качества, а не от ремесла или места.

Географически фамилия Желай встречается редко. В современных базах данных она чаще всего фиксируется в Украине (особенно в западных областях) и в южных регионах России. Это подтверждает версию о западнорусском или украинском происхождении модели без суффикса. Встречаются также варианты написания Желай, реже Желайло — с более типичным для украинских фамилий суффиксом.

С точки зрения социальной истории, носители фамилии Желай вряд ли принадлежали к высшим сословиям: «неоформленные» фамилии обычно закреплялись за крестьянами или казаками, у которых не было строгой бюрократической фиксации. В переписных книгах XVII–XVIII веков такая фамилия могла писаться как отчество: «Ивашко Желаев сын», но со временем отпала окончание, оставив чистую форму.

Однокоренные фамилии — Желанов, Желаев, Желатин — встречаются чаще, но Желай стоит особняком: она короче, звонче и несет в себе отпечаток прямой речи. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, был человеком, которого окружающие запомнили по его пожеланиям — добрым или настойчивым.