Фамилия Звягильский — одна из тех, что сразу выдают географическое происхождение. Типичный суффикс -ский указывает на дворянский или шляхетский корень, но ещё чаще — на связь с местом: так называли человека по названию имения, села или усадьбы, откуда он родом. В основе фамилии почти наверняка лежит топоним Звягиль, Звягилево или Звягилье. Такие названия встречаются на западе исторической России, в частности на территории современной Украины и Беларуси. Самое известное соответствие — город Новоград-Волынский, который до 1795 года назывался Звягель (польск. Zwiahil). От этого названия и пошла фамилия Звягильский, означавшая «тот, кто из Звягеля» или «владелец поместья Звягиль».

Корень «звяг-» в славянских языках неоднозначен. Чаще всего его связывают с древнерусским «звяга» — звукоподражанием звону, лязгу, а также с глаголом «звягать» (издавать резкий звук, бренчать). Однако в топонимике Звягель мог получить имя от балтского или ятвяжского корня, означавшего «гнилой, топкий» (ср. лит. žviegti — визжать, но это менее вероятно). Спор здесь решается просто: для фамилии, образованной по модели «от названия города», происхождение прозвища-основы вторично. Важнее то, что носитель фамилии был либо выходцем из Звягеля, либо получил землю в этом районе и стал писаться по имени владения.

По суффиксу видно, что фамилия оформилась в среде польской или западнорусской шляхты, где приставка -ский/-цкий была нормой для обозначения родового гнезда. В XVIII–XIX веках носители фамилии Звягильский могли быть мещанами, однодворцами или обедневшими дворянами — точных сословных данных по всей фамилии нет, но модель образования типична для мелкопоместной знати Волыни и Подолья. В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые часто давали по отцу или профессии, Звягильский — «географическая» фамилия, и её носитель в первом поколении почти наверняка не имел отношения к звону или бренчанию, а просто жил или служил в Звягеле.

В написании фамилии возможны варианты: Звягильский, Звягельский, а в польской передаче — Zwiahilski. В русских документах XIX века закрепилась форма через «и» под влиянием акающего произношения. Редкость фамилии объясняется локальностью исходного топонима: Звягель — город небольшой, и фамилия не разошлась широко, в отличие от распространённых «столичных» вариантов вроде Московского или Киевского. Если ваш предок носил эту фамилию, с высокой вероятностью его корни — на северо-западе Украины, в окрестностях Новограда-Волынского.