Фамилия Зятнина — женская форма от Зятнин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или нецерковного имени Зятня. В основе лежит слово «зять» — муж дочери, муж сестры. Но прозвище Зятня вряд ли давали человеку, который и правда был чьим-то зятем, — это было бы слишком очевидно. Скорее всего, так за глаза называли мужчину, который жил в доме тестя или тёщи, то есть находился на положении примака. В крестьянском быту такое положение считалось не слишком почётным: зять-примак зависел от жениной родни, и прозвище могло закрепиться за ним или даже за его детьми.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Зятнин буквально значит «сын Зятни» или, шире, «человек из рода Зятни». Это типичная модель русских фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я: Сорокин, Косолапин, Молчанин. Исходное прозвище Зятня — усечённая или ласкательная форма от «зять», как Дядя от «дядя» или Кума от «кум».

Встречается фамилия преимущественно в центральных и северных областях России, особенно в Вологодской, Архангельской и Кировской областях. Там, где долго сохранялся патриархальный уклад, прозвище «зять» могло быть и необидным — просто констатацией родства, если человек жил не в своей деревне, а у жены. Но в целом фамилия редкая, в списках частотных русских фамилий она не фигурирует.

Интересно, что фамилия Зятнина (с ударением на первый слог) может быть и оттопонимической — от названия деревни Зятнино. Такие деревни есть в Тверской и Ярославской областях. В этом случае фамилия происходит не от прозвища, а от названия места, где жили первые носители. Но обе версии сходятся в одном: корень «зят-» указывает на свойство через брак, а не на кровное родство.