Фамилия Абиина — редкий и неочевидный случай. На первый взгляд её легко принять за вариант фамилии Абина или Абиев, но суффикс -ин указывает на притяжательную модель («чей?»), а двойное «и» в корне — на то, что основа, скорее всего, заканчивалась на -ия или -ия. Так что перед нами не просто «сын Абия», а форма женского рода от фамилии Абиин или напрямую от женского личного имени.

Самый правдоподобный путь: фамилия образована от имени Абия или его производных. В русской традиции «Абия» — это либо церковное имя (в святцах есть Авия, библейское имя, означающее «отец — Господь»), либо просторечная форма от Авраамий или Абакум. Если основа — Абия, то Абиин — «сын Абии», а Абиина — либо женская форма той же фамилии (жена или дочь Абиина), либо фамилия, закреплённая за женщиной в документах, что для XIX века редкость, но встречается в крестьянской среде.

Есть и альтернативная версия, связанная с географией. В северных и сибирских говорах «абий» или «абия» могло быть прозвищем человека с особенностью речи или поведения. Но это гипотеза без твёрдой опоры в словарях — скорее всего, корень именно личный, а не нарицательный.

Фамилия крайне локальна. В современных базах она почти не встречается, что говорит о её угасании или о том, что носители сменили фамилию при унификации написания (например, на Абина). Если ваши предки носили Абиину, стоит искать их в метрических книгах центральных губерний — там, где бытовали библейские имена в народной форме.