Фамилия Абишов — звонкий пример того, как тюркское имя, попав в русскую среду, обрастает славянским суффиксом и становится привычной фамилией. Её основа — мужское имя Абиш, которое в разных тюркских языках (казахском, башкирском, татарском) имеет схожее звучание и значение. Чаще всего Абиш — это сокращенная или ласкательная форма от арабского имени Абдуллах (раб Аллаха) или Абу-ль-... (отец кого-то). В казахской ономастике имя Абиш нередко давали как самостоятельное, вкладывая в него смысл «почтенный», «уважаемый старец».

Суффикс -ов указывает на классическую русскую модель образования фамилий: «чей?» — «Абишов», то есть сын или потомок Абиша. Такая модель была особенно распространена в XIX веке, когда у народов, входивших в состав Российской империи, начали массово фиксировать фамилии по русскому образцу. Поэтому Абишовы — это, скорее всего, потомки человека по имени Абиш, жившего в среде, где русская администрация или церковь требовала «обрусения» фамилии.

Географически фамилия Абишов наиболее плотно представлена в Казахстане, а также среди башкир и татар в Оренбургской, Челябинской областях и в Башкортостане. Встречается она и в Азербайджане, но там чаще фиксируется форма Абишев, где суффикс -ев фонетически более характерен для местных говоров.

Интересная деталь: ударение в фамилии плавающее. В русскоязычной среде чаще говорят Абишов (на второй слог), но в тюркской среде естественным будет ударение на первый слог — Абишов, так как в тюркских языках ударение обычно падает на последний слог слова, но в именах собственных нередко сохраняется исконное ударение основы.

Никакой связи с древнерусским словом «абыш» (несуществующим) или с чем-то славянским здесь нет. Это чисто тюркская фамилия, адаптированная русским суффиксом, и её носители почти наверняка имеют корни в среде, где исламская традиция именования сочеталась с русским делопроизводством. Если вы встретили Абишова в центральной России, скорее всего, его предки мигрировали откуда-то из Поволжья или Приуралья.