Фамилия Адаевская — редкий случай, когда географическое название, скорее всего, стало основой для фамилии, а не наоборот. Типичный «географический» суффикс -ск- указывает на связь с местностью: такую фамилию обычно получал человек, владевший землей или живший в населенном пункте с корнем «Адай-». В старых документах встречаются названия вроде Адаево или Адаевка, разбросанные по разным губерниям — от Казанской до Тульской. Иными словами, первый Адаевский — это либо помещик, чье имение так называлось, либо выходец из деревни Адаево, переселившийся в другое место и получивший «официальную» фамилию по прежнему месту жительства.

Основа «Адай» в русском контексте чаще всего восходит к татарскому или башкирскому имени Адай — в тюркских языках оно означает «дикий, необузданный» или, по другой версии, «островитянин» (от названия острова). Встречается и версия, что Адай — это уменьшительная форма от крестильного имени Адам, но для фамилии на -ский такое объяснение менее типично: суффикс -ин или -ов был бы естественнее для отчества от имени. Поэтому тюркское происхождение корня выглядит убедительнее, особенно с учетом того, что Адаевские исторически встречаются в Поволжье и на юге России, где русское население веками контактировало с тюркскими народами.

Обратите внимание на окончание -ая: это форма женского рода. В русской традиции фамилии на -ский/-цкий склоняются по падежам, но в женском варианте окончание меняется на -ая (Адаевская), а в мужском — на -ий (Адаевский). Если вы ищете историю именно женской формы, то она полностью повторяет мужскую: различие только в грамматическом роде носителя.

Сословно Адаевские, скорее всего, относились к дворянству или духовенству. Фамилии на -ский в XVIII–XIX веках активно присваивались семинаристам при поступлении в училище (их часто «переименовывали» по названию родного села), а также помещикам, получавшим фамилию по названию вотчины. Документальных подтверждений, что именно этот род был титулованным, нет — но само наличие суффикса -ск- намекает на привилегированное или хотя бы грамотное происхождение предков.

Современные носители фамилии Адаевская встречаются редко, в основном в центральной России и в Сибири. Если вам попадались однофамильцы с ударением на второй слог (Ада́евская), это может говорить о южнорусском говоре предков, где ударение в фамилиях на -ский часто смещается.