Фамилия Адамонэ сразу выбивается из привычного для русского слуха ряда. Здесь нет славянских суффиксов -ов, -ин или -ский, поэтому искать её корни нужно не в русской морфологии, а в географии и этнической принадлежности. Это иноязычное заимствование, и первое, что приходит на ум, — кавказское, а точнее грузинское происхождение.

В грузинском языке распространены фамилии на -дзе, -швили, -иа, -ава, а также на -они и -ури, характерные для восточных регионов, особенно Кахетии. Адамонэ, скорее всего, образована именно по этой модели. Наиболее правдоподобная версия: в основе лежит имя Адам, которое в грузинском звучит как «Адами». Добавление суффикса принадлежности -онэ (или -они) даёт форму «Адамонэ» — то есть «принадлежащий Адаму» или «потомок Адама». Таким образом, предок носителя фамилии мог быть сыном человека по имени Адам.

Вторая версия, тюркская, выглядит слабее. В тюркских языках есть слова «ада» (остров) или «адам» (человек), но окончание -онэ тянет фамилию именно к кавказской, а не к степной традиции. Написание через «э» в конце (а не через «е») — дополнительный аргумент в пользу грузинской версии: так пытались передать открытый грузинский гласный звук.

Сословной привязки у фамилии Адамонэ нет: в Грузии подобные фамилии встречались и у крестьян, и у князей, всё зависело от конкретного рода. В русскоязычной среде эта фамилия — редкий гость. Её носители, скорее всего, принадлежат к одной или нескольким родственным семьям, которые сохранили исконное написание при переезде с Кавказа.