Фамилия Адашев в русском ономастиконе стоит несколько особняком: её происхождение не от христианского имени и не от профессии, а от тюркского прозвища. Основа — «адаш», что в ряде тюркских языков (татарском, башкирском, казахском) означает «тёзка», «одноимённый» или «товарищ». Скорее всего, прозвище Адаш давали человеку, который носил то же имя, что и кто-то другой в округе, или же просто приятелю, спутнику.

Модель образования типична для русских фамилий XVI–XVII веков: к основе на -ш добавляется стандартный патронимический суффикс -ев (а не -ов, потому что основа мягкая). То есть Адашев буквально значит «сын Адаша». Форма без усечения — не «Адашов», а именно «Адашев» — подтверждает, что фамилия сложилась в эпоху, когда мягкость шипящих уже не игнорировали при письме.

Самая громкая историческая отсылка — боярин и любимец Ивана Грозного Алексей Фёдорович Адашев. Его род возводили к казанскому мурзе, что косвенно подтверждает тюркскую версию: прозвище Адаш легко могло возникнуть в русско-татарской среде, где «тёзка» было распространённым личным именем. Впрочем, носителей фамилии позже фиксировали и в северных уездах России, и в среде служилых людей — к XVIII веку она уже не ассоциировалась с восточным корнем.

Встречаются и редкие варианты написания — Адашов, Адашевъ (с ятем на конце), но все они сводятся к одному и тому же прозвищу. Если ваш предок носил фамилию Адашев, с высокой вероятностью его дед или прадед имел тёзку в своём селе — отсюда и закрепилось прозвание.