Фамилия Агапи звучит не по-русски именно потому, что её не «переделали» под местные суффиксы. Она пришла в готовом виде из греческого имени Агапий (Agapios), которое переводится как «любимый», «возлюбленный». В основе лежит древнегреческое agapē — высокая, безусловная любовь. В православных святцах это имя носил мученик III века, поэтому оно было распространено среди духовенства и верующих.

В русской традиции фамилии на -и — редкость. Они характерны для греческого, болгарского или южнославянского населения. Агапи закрепилась как застывшая форма имени, без добавления суффиксов -ов или -ин. Такое оформление типично для выходцев из южных регионов или для священников: в среде греческого духовенства, служившего в России, фамилии вроде Агапи, Евлогий или Иоанниди не русифицировали.

Версия, что фамилия пошла от прозвища Агапа («ласковый, нежный человек»), менее убедительна. В этом случае язык ожидал бы форму Агапин или Агапов, а не Агапи. Поэтому основная гипотеза — греческое имя — выглядит куда правдоподобнее.

Географически фамилия редкая. Её носители живут в южных и центральных регионах России, а также среди потомков греческих переселенцев в Приазовье и на Кубани. Иногда встречается написание Агаппи (с двойной «п») — это более точная передача греческого оригинала, но в быту двойную согласную часто упрощали.

Социальный контекст узок: носители фамилии Агапи — это, скорее всего, потомки священнослужителей или греческих переселенцев XVIII–XIX веков. Распространения фамилия не получила, поэтому её обладатели с высокой вероятностью могут проследить родословную по церковным метрикам или переселенческим спискам.