Фамилия Агапитов отталкивается от мужского имени Агапий (в просторечии — Агапит, Агап). В переводе с греческого оно означает «любимый». Так что корень здесь прозрачный, и фамилия по смыслу родственна, скажем, Любимову, только через греческое посредство.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединился к основе Агапит. Вопрос, почему не Агапиев, а Агапитов, решается просто: полная церковная форма имени — Агапит (с конечным -т), и именно от неё пошла фамилия. Фонетический вариант Агап дал бы фамилию Агапов — она тоже существует, но это другая ветвь.

Святой покровитель имени — преподобный Агапит Печерский, киевский врач XII века. Он прославился тем, что лечил безвозмездно и, по преданию, исцелил самого Владимира Мономаха, которого безуспешно пользовал армянский лекарь. Этот сюжет про армянского врача и безнадёжного больного повторяется в житии не раз: есть эпизод, когда Агапит предсказал одному боярину смерть через восемь дней, но тот, вопреки прогнозу, выздоровел после молитвы преподобного. Житийные детали не всегда согласуются между собой, но общая канва ясна: Агапит Печерский — фигура для Древней Руси значимая, и имя его было распространено именно благодаря церковному почитанию.

Фамилия Агапитов — не из самых частых, но встречается стабильно. В России её можно найти и в центральных областях, и в Поволжье, и на Урале — везде, куда доходила церковная традиция с этим именем. Дворянских родов с такой фамилией не отмечено, так что предки носителей, скорее всего, были из духовного сословия, крестьян или мещан. В любом случае, фамилия образована от имени, которое в XII веке носил реальный исторический врач, и это придаёт ей дополнительный вес.