Фамилия Аксинёнок — один из тех редких случаев, когда исходное женское имя дало начало фамилии, причём с уменьшительно-ласкательным оттенком. В её основе лежит просторечная форма канонического имени Ксения — Аксинья. Суффикс -ёнок (характерный для белорусской, реже украинской и южнорусской традиции) указывает на «малого»: буквально Аксинёнок — это сын Аксиньи, то есть ребёнок женщины по имени Аксинья. Такие «материнские» фамилии (метронимы) на Руси возникали либо когда мать была главой семьи после смерти мужа, либо когда внебрачного ребёнка записывали по матери, чтобы избежать позора или бюрократических сложностей.

Географически фамилия Аксинёнок тяготеет к западным регионам России и востоку Беларуси. Суффикс -ёнок особенно распространён на Смоленщине, в Брянской области, а также в Могилёвской и Витебской губерниях. Там же встречаются однокоренные варианты: Аксёненко, Аксёнов, Аксиньин. Но именно форма с -ёнок — самая «младшая» по смыслу: она подчёркивает не родство с отцом (как -ов/-ев или -ин), а прямую зависимость от матери, что в патриархальной деревенской среде было исключением из правил.

Споров о происхождении корня почти нет. Аксинья — народный вариант от греческого Ксения («гостеприимная», «чужестранка»). В русских говорах имя давало множество производных: Оксинья, Аксюта, Аксёна. От последнего, кстати, пошли фамилии Аксёнов и Аксёненко — они куда многочисленнее. Аксинёнок — более редкая, локальная ветвь, сохранившая именно «материнский» след.

Интересно, что в дореволюционных метрических книгах эту фамилию могли записать по-разному: Аксиненок, Оксинёнок, Аксенёнок. Твёрдое «ё» в суффиксе нередко опускали, и в современных документах встречается написание Аксиненок (без ё), хотя произносится оно с ударением на последний слог. Если ваши предки носили эту фамилию, вероятнее всего, они жили в западной части России или в восточной Беларуси, а родоначальницей была женщина по имени Аксинья — не самая редкая ситуация в крестьянской среде, но закреплённая в фамилии навсегда.