Фамилия Андони — редкий случай, когда географический разброс почти полностью перечёркивает интуитивное прочтение. На первый взгляд — типичная южнославянская или румынская фамилия с окончанием на -и. Но если копнуть глубже, выясняется, что у неё как минимум три независимых корня, и какой из них «ваш» — зависит от того, где фамилия закрепилась.

Самая вероятная версия для русскоязычного носителя — греческая. Андони — это краткая форма имени Андроник (Аνδρόνικος), которое означает «победитель мужей». В греческой среде имя бытовало в виде Андонис, а фамилия Андони могла возникнуть либо как патроним (сын Андониса), либо как прозвище, закреплённое за человеком из греческой диаспоры. В Российской империи греческие фамилии на -и встречались среди купцов и моряков Причерноморья, особенно в Одессе, Таганроге, Мариуполе.

Вторая линия — молдавская и румынская. Там Андони — это тоже патроним, но от имени Антон (рум. Anton). Окончание -и в румынских фамилиях (как в Димитриу, Георгиу) указывает на родительный падеж, то есть «принадлежащий Антону». Фамилия Андони распространена в Молдове и на севере Румынии. Если ваши предки из Бессарабии или Буковины — это ваш случай.

Третья, самая редкая версия — итальянская. В Италии Андони — вариант фамилии Андоньи (Andogni) или Андолини, но с изменённым написанием. Такие фамилии встречаются в северных областях (Ломбардия, Венето) и восходят к средневековым прозвищам от имени Антонио. Однако для России и Украины эта версия маловероятна — итальянцев в массовом порядке в империю не переселяли.

Словообразовательно фамилия проста: основа Андони — это либо полное имя, либо прозвище, а суффикс отсутствует. Фамилия осталась в форме основы, что характерно для греческих, румынских и молдавских фамилий. В русском языке она не склоняется, если принадлежит мужчине (Иван Андони), и склоняется по правилам женских фамилий на -и (Андони, Андониной).

Примечательно, что фамилия Андони не связана с русскими отчествами на -ов/-ев и -ин, поэтому её носители в России — почти наверняка потомки переселенцев. Если искать в архивах, стоит смотреть метрические книги греческих церквей Одессы (XIX век) и записи по Бессарабской губернии. Встречаемость фамилии низкая, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска — путаницы с однофамильцами почти не будет.