Фамилия Аникейчев ведет происхождение от имени Аникита. В основе лежит греческое слово «аникэтос» — «непобедимый». Однако словообразовательная модель здесь нестандартная: от полной формы имени Аникита образована не фамилия Аникитин (что было бы логичнее), а форма Аникейчев. Это указывает на то, что в обиходе имя сначала переделали в более простое Аникей или Аникейка — так на Руси часто адаптировали длинные церковные имена. От этого народного варианта с помощью патронимического суффикса -ев и появилась фамилия, буквально означающая «сын Аникея».

Существует и вторая версия: основа могла восходить к имени Иоанникий, тоже греческому, связанному со словом «никэ» (победа). В этом случае цепочка преобразований та же: Иоанникий сокращался до Аникей, а затем дал фамилию Аникейчев. Обе гипотезы правдоподобны, и обе указывают на то, что предок носителя фамилии был человеком, чье имя в миру звучало не по-церковному, а по-русски — коротко и звонко.

Суффикс -ев, а не -ов, появляется потому, что основа имени заканчивается на мягкий согласный или й. Такая модель типична для центральных и северных регионов России, где фамилии на -ев распространены шире, чем, скажем, на Украине или в Белоруссии. По сословной принадлежности Аникейчевы, скорее всего, относились к крестьянам или посадским людям — у дворян фамилии от полных форм имен встречались реже, а просторечные варианты вроде Аникей как раз бытовали в низших и средних слоях.

В писцовых книгах XVI–XVII веков можно встретить упоминания крестьян Аникеевых и Аничкиных — это однокоренные фамилии, образованные от того же имени, но с разными суффиксами. Аникейчев среди них выделяется как раз редкой моделью: не -ов и не -ин, а -ев, что делает фамилию менее типичной, но оттого не менее древней.