Фамилия Аникейчик — типичный пример украинской модели фамилий на -чик, которая указывает на происхождение от отца: буквально «сын Аникея». В основе лежит не полное крестильное имя Аникита, а его просторечная, народная форма — Аникей. Именно от неё и пошла фамилия, минуя книжный, церковный вариант.

Имя Аникита восходит к греческому «анúкэтос» — «непобедимый». Этот смысл отчётливо проявился в житии святого покровителя имени — мученика Аникиты из Никомидии. Военный сановник при императоре Диоклитиане (284–305 гг.) открыто обличал гонителя христиан, за что подвергся изощрённым пыткам. Его бросали на съедение зверям — лев стал кротким и ласкался к нему. Колесовали и жгли огнём — колесо остановилось, пламя погасло. Кидали в котёл с кипящим оловом — металл остыл. Даже дикие кони, к которым привязали мученика за ноги, не смогли его убить. Тело святого не пострадало и в огромной печи — волосы остались целы. Видя эти чудеса, многие язычники обратились в христианство. Таким образом, имя Аникита в народном сознании прочно связалось с идеей несокрушимости, которую и унаследовала фамилия Аникейчик.

Суффикс -чик в украинской ономастике выполнял ту же роль, что русский -ов или белорусский -ёнок: он оформлял отчество, указывая на прямую связь с отцом. Встречается фамилия преимущественно в западных и центральных областях Украины, а также среди потомков переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. В написании возможны варианты через «и» — Аникейчик, что соответствует украинской орфографии, или через «ы» — Аникейчык, что встречается в белорусской традиции.