Фамилия Аникейцев образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от полного имени через суффикс притяжательности -ев. Основа здесь — имя Аникей, народная форма канонического имени Иоанникий (в церковном произношении Иоанникий, от греческого «победа»). В русском быту это имя обросло множеством вариантов: Анисим, Аникей, Аника. Поэтому первое, что бросается в глаза, — фамилия Аникейцев не имеет отношения к слову «аника» в значении «воин» из поговорки «аника-воин», хотя созвучие подталкивает к такой догадке.

Суффикс -ев указывает на то, что фамилия закрепилась в форме родительного падежа: «чей сын?» — Аникейцев. То есть предок носителя фамилии был сыном человека по имени Аникей. Полная форма имени, а не уменьшительная (вроде Аничка или Аникейка), говорит о том, что фамилия могла возникнуть в среде, где имя употреблялось официально или в полном звучании, — скорее всего, в крестьянской или посадской среде, где отчества и фамилии на -ев фиксировались в документах XVII–XIX веков.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным регионам России. В переписных книгах и ревизских сказках Аникейцевы встречаются в Вологодской, Архангельской, Костромской губерниях. Это косвенно подтверждает, что имя Иоанникий было популярно именно на Русском Севере, где сохранялась архаичная традиция именования.

Интересная деталь: у фамилии есть вариант написания через «а» — Аникайцев. Эта форма встречается реже, но она тоже закономерна, так как в диалектах имя Аникей иногда произносили с твёрдым «а» на конце. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) Аникейцев обычно относят к группе фамилий от полных форм имён, что делает её более «документальной» по сравнению с фамилиями от прозвищ.

Коротко: предки носителей фамилии Аникейцев — люди, чей отец или дед носил имя Аникей, вариант церковного Иоанникий. Фамилия не редкая, но и не массовая, с чёткой северорусской привязкой.