Фамилия Анистратовы образована от имени Анистрат, которое, в свою очередь, является народной формой церковного имени Евстрат. Исходное греческое имя Εὐστράτιος (Евстратий) переводится как «добрый воин». С течением времени начальное «Ев» в русском произношении превратилось в «А», а «с» перешло в «н» под влиянием других греческих имен с приставкой «ани-» (например, Аникита). Так появилось имя Анистрат, а от него — фамилия Анистратов.

Суффикс «-ов» указывает на принадлежность: Анистратов — сын или потомок Анистрата. Это стандартная русская модель образования фамилий от полных форм крестильных имен, которая активно работала в XVI–XVII веках в среде духовенства, посадских людей и крестьянства.

Существует и вторая, менее вероятная версия происхождения. В некоторых говорах «анистратом» называли судебный документ о задолженности за землю. Если это прозвище, а не имя, то предок мог иметь отношение к судебным делам или земельным тяжбам. Однако эта гипотеза слабее: имя Анистрат встречается в святцах (святой Евстрат Печерский, XII век), а прозвище по названию бумаги — случай редкий и вряд ли дал бы такую устойчивую фамилию.

Фамилия бытует в разных регионах России, но особенно заметна в южнорусских областях — Воронежской, Курской, Белгородской. Там народные формы церковных имен дольше сохранялись в быту, а фамилии на «-ов» от них закрепились уже в XVIII–XIX веках.

Написание «Анистратов» стоит отличать от более редкого варианта «Анистратовых» (с окончанием «-ых»), которое встречается в северных говорах и указывает на целый род или семью. Большинство носителей сегодня пишут фамилию в форме «Анистратов».

По сути, перед нами типичная русская «отчественная» фамилия, которая просто сохранила в себе живую народную переделку греческого имени — без книжного возврата к исходному Евстратов.